Presentation by slides:
Slide #1
Модуль «Геометрия»
Задача 23 – «Окружности»
Slide #2
Справочный материал
Slide #3
Slide #4
Slide #5
Slide #6
Slide #7
Slide #8
Slide #9
Slide #10
О
Отрезки АВ и СD являются хордами окружности. Найдите длину хорды СD, если АВ=40, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и СD равны соответственно 21 и 20.
А
D
В
С
21
20
Е
К
40
20
20
29
29
29
29
21
21
Решение.
2. ОЕ– высота (по условию), проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то она является также и медианой
1. Δ АОВ – равнобедренный (ОА=ОВ=R)
3. Δ ОЕА – прямоугольный
По теореме Пифагора имеем:
4. Аналогично
Ответ: CD=42
Slide #11
1. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=24, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 16 и 12.
2. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=18, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 9.
3. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=12, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 8 и 6.
Решите самостоятельно
Slide #12
О
Отрезки АВ и СD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды СD, если АВ=20, СD =48, а расстояния от центра окружности до хорды АВ равно 24.
А
D
В
С
24
?
Е
К
20
10
10
26
26
26
26
24
24
Решение.
2. ОЕ– высота (по условию), проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то
она является также и медианой
1. Δ АОВ – равнобедренный (ОА=ОВ=R)
3. Δ ОЕА – прямоугольный
По теореме Пифагора имеем:
4. Аналогично
Ответ: OК=10
48
Slide #13
1. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=14, CD= 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.
2. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=40, CD= 42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.
3. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=16, CD= 30, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 15.
Решите самостоятельно
Slide #14
А
В
H
С
P
K
Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС . Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК=11.
Решение.
-вписанный в окружность
РК- диаметр окружности
2. ВH=РК=11
Ответ: ВH=11
Slide #15
1. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK=13.
2. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK=10.
3. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK =9.
Решите самостоятельно
Slide #16
В
С
К
Р
А
Решение.
так как четырёхугольник КВСР-вписанный в окружность
( - по доказанному,
- общий)
- смежные
Пусть ВС=х, тогда АВ=2х
Ответ: КР=17
Slide #17
1. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=36, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.
2. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=21, а сторона BC в 1,5 раза меньше стороны AB.
3. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP=9, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.
Решите самостоятельно
Slide #18
Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках К и F соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КF, если АК=14, а сторона АС в 7 раз больше стороны ВС.
В
А
С
К
F
Решение.
14
так как четырёхугольник BKFC-вписанный в окружность
- смежные
( - по доказанному,
- общий)
Ответ: КF=2
Slide #19
Решите самостоятельно
1. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K
и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину от-
резка KP, если AK=14, а сторона AC в 2 раза больше стороны BC.
2. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K
и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину от-
резка KP, если AK=6, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.
3. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K
и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину от-
резка KP, если AK=16, а сторона AC в 1,6 раза больше стороны BC.
Slide #20
А
С
В
Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите AC,если диаметр окружности равен 15, а АВ=4.
О
R
R
?
4
7,5
7,5
Решение.
1. ОВ AВ,
как радиус,
проведенный в точку касания.
2. Δ АВО – прямоугольный
По теореме Пифагора имеем:
Ответ:
8,5
Slide #21
1. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 16, а AB=15.
2. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3,6, а AB=8.
3. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 7,5, а AB=2.
Решите самостоятельно
Slide #22
А
С
В
Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ=6, АС=10.
О
R
R
10
6
х
10-х
х
Решение.
1. ОВ AВ,
как радиус,
проведенный в точку касания.
2. Δ АВО – прямоугольный
По теореме Пифагора имеем:
Ответ:
Slide #23
1. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=3, AC=9.
2. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=4, AC=16.
3. Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB=1, AC=5.
Решите самостоятельно
Slide #24
Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 64° и 86°. Найдите ВС, если диаметр окружности, описанной около треугольника АВС, равен 13.
А
В
С
64°
86°
Решение.
30°
Ответ: ВС=6,5
R
?
Slide #25
1. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 63° и 87°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 11.
2. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
3. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.
Решите самостоятельно
Slide #26
В Δ АВС биссектриса угла А делит высоту, проведённую из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около Δ АВС, если ВС=10.
А
В
С
E
K
Решение.
М
1. Δ АВЕ
По свойству биссектрисы угла треугольника
12х
13х
Ответ: R=13
(из основного тригонометрического тождества)
(теорема синусов)
Slide #27
1. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=8.
2. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B в отношении 17:15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=16.
3. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B в отношении 41:40, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=18.
Решите самостоятельно
Slide #28
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:11:19. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 15.
А
В
С
6х
11х
19х
15
Решение.
30°
Ответ: R=15
Slide #29
Решите самостоятельно
1. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:13:17. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 18.
2. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:7:8. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 20.
3. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 6:7:23. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 11.
Slide #30
33°
В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 33º. Найдите больший из двух острых углов треугольника.
А
С
E
В
45°
45°
K
Решение.
12°
т. к. CК – биссектриса прямого угла.
R
R
R
12°
3. Е – середина
гипотенузы АВ
Е – центр описанной около ΔАВС окружности
4. ЕВ=ЕС=АЕ=R
Δ АЕС - равнобедренный
Ответ:
Slide #31
1. В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 26º. Найдите больший из двух острых углов треугольника.
2. В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 20º. Найдите больший из двух острых углов треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 44º. Найдите больший из двух острых углов треугольника.
Решите самостоятельно
Slide #32
Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 5, а высота, проведенная к основанию, равна 8. Найдите площадь треугольника.
А
В
М
О
С
8
5
R
R
R
Решение.
3. ВМ – высота (по условию), проведенная к основанию равнобедренного треугольника, то она также является и медианой
1. ОМ=ВМ-ОВ= 8-5=3см
3
5
5
2. Δ АМО – египетский
4
8
Ответ:
Slide #33
1. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 10, а высота, проведенная к основанию, равна 18. Найдите площадь треугольника.
Решите самостоятельно
2. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 17, а высота, проведенная к основанию, равна 32. Найдите площадь треугольника.
2. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 13, а высота, проведенная к основанию, равна 18. Найдите площадь треугольника.
Slide #34
Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 52°, 56° и 72° .
А
В
С
М
Р
К
112°
78°
52°
72°
56°
О
Решение.
1. ОМ AВ,
ОР ВС, как радиусы,
проведенные в точки касания.
- вписанный,
- соответствующий центральный
104°
76°
56°
72°
4. Аналогично
26°
Ответ:
Slide #35
Решите самостоятельно
1. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 49°, 69° и 62° .
2. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 44°, 71° и 65° .
3. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках М, К и Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника МКР равны 53°, 61° и 66° .
Slide #36
Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите угол КСВ, если угол АВС=20°.
А
В
С
К
Е
D
20°
Решение.
125°
- опираются на одну дугу окружности
- смежные с равными
3. ВКDЕ - четырёхугольник
4. Δ ВКС
Ответ:
Slide #37
Решите самостоятельно
1. Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите угол КСВ, если угол АВС=26°.
2. Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите угол КСВ, если угол АВС=34°.
3. Окружность проходит через вершины А и С треугольника АВС и пересекает стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите угол КСВ, если угол АВС=18°.
